大学课件 高等数学 9-4.ppt

1,利用直角坐标系计算二重积分,小结思考题 作业,利用极坐标系计算二重积分,double integral,二重积分的换元法第二节 二重积分的计算法,第九章 重积分,2本节介绍计算二重积分的方法,二重积分化为,累次积分即两次定积分.,3,1 积分区域为,其中函数,在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,4,计算截面面积, 红色部分即Ax0 以D为底以曲面,为顶的曲顶柱体的体积.,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.是区间,为曲边的曲边梯形.,为底曲线5是区间 为底曲线 为曲边 的曲边梯形.,有,先对y后对x的二次积分,称为,累次积分.6,2 积分区域为,先对x后对y的二次积分,也即,其中函数,在区间,上连续.,7,特殊地,如D是上述矩形域得,即等于两个定积分的乘积.,注,D为矩形域,则,则,axb,cyd,8,穿过区域且平行于y轴的直线,穿过区域且平行于x轴的直线计算结果一样.,又是Y型,3积分区域D既是X型,X型区域的特点,Y型区域的特点,与区域边界相交不多于两个交点.,与区域边界相交不多于两个交点.,但可作出适当选择.,9,4 若区域如图在分割后的三个区域上分别使用积分公式.,用积分区域的可加性质,则必须分割.10例,解,积分域既是X型又是Y型,法一,所围平面闭区域.,两曲线的交点11,,先对x后对y的积分,法二12,例,siny2 对y的积分,而它对x的积分,交换积分次序的方法是,改写D为,分析,所以将二次积分先,将所给的积分域,1,2,画出积分域的草图,3,计算二次积分,不能用基本积分法算出可用基本积分法算出.,交换积分次序.,用联立不等式表示 D,13,14例,交换积分次序解,积分区域,原式15例解,原式交换积分次序16交换积分次序的步骤,1 将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域2 按相反顺序写出相应的二次积分.,并画出草图;,17,二次积分一定能交换次序,,答,不一定,例如,由于,故,所以,18,例如,由于,故,所以说明,当f x, y在所考虑的区域上连续时二次积分可以交换积分次序.,19,1990 年研究生考题, 填空, 3分,解练习,交换积分次序,20又是能否进行计算的问题.,计算二重积分时恰当的选取积分次序,十分重要它不仅涉及到计算繁简问题而且,凡遇如下形式积分,等等一定要放在,后面积分.,21,例 求证,左边的累次积分中,积分域,可表为,提示,定积分与积分变量的记法无关,不能具体计算.,所以是y的抽象函数证毕.,先交换积分次序.22例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为 及,解,求所围成的,立体的体积.,还有别的做法吗,232002 年研究生考题, 7分,练习,计算二重积分,其中解设,24,解计算积分,不能用初等函数表示先交换积分次序.,练习25两相邻弧半径平均值.,内取圆周,上一点,其直角坐标,则,设为,二、利用极坐标系计算二重积分,26,得,即,也即,271 积分区域D28,2积分区域D曲边扇形,29极坐标系下区域的面积,3 积分区域D,注,一般,在极坐标系下计算,30解,例,写出积分,的极坐标二次积分,其中积分区域,形式在极坐标系下,圆方程为,直线方程为31,解例,计算,其中D是由中心在原点半径为a的圆周所围成的闭区域.,在极坐标系下,32,解,求反常积分,例,显然有33,又,对称性质,34,概率积分,夹逼定理,即,所求反常积分35解,计算,所围成的平面闭区域.,例,及直线36,解,双纽线,求曲线,所围成的图形的面积.,例,根据对称性有,在极坐标系下由,得交点,面积,37将直角坐标系下累次积分,化为极坐标系下的累次积分.解练习,原式,38,1994年研究生考题, 填空, 3分,解,39计算二重积分,2003年研究生考题数学三、四计算, 8分,其中积分区域,答案,40,计算,因被积函数,D2,例,分析,故,的,在积分域内变号.D1,41,计算,解,积分区域D关于x轴对称被积函数关于y为偶函数.,原式,记D1为D的y0的部分.,则,D1练习,42,二重积分的计算规律,再确定交换积分次,1. 交换积分次序,先依给定的积分次序写出积分域D的,不等式并画D的草图;,序后的积分限;,2. 如被积函数为,圆环域时或积分域为,圆域、扇形域、,则用极坐标计算;,433. 注意利用对称性质数中的绝对值符号.,以便简化计算;,4. 被积函数中含有绝对值符号时应,将积分域分割成几个子域使被积函数在,每个子域中保持同一符号以消除被积函,44,例,计算,分析,从被积函数看用极坐标系要简单些但从积分域D的形状看,为宜.,用却又以直角坐标系,在两者不可兼得的情况下应以D的形状,来决定用什么坐标系此题用直角坐标系.,4546,2003年研究生考题数学三、四填空, 4分,而D表示全平面,则,练习,47,三、二重积分的换元法,设被积函数,在区域D上连续若变换,满足如下条件,1,一对一地变为,D上的点;,2,有连续的一阶偏导数且雅可比行列式48基本要求,变换后定限简便求积容易,49,例,解,所围成的闭区域.其中D为椭圆,作广义极坐标变换,50故换元公式仍成立51,例,解,令,则,即52,故,53练习,证明,证,法一,交换积分次序,累次积分,54,55,证明法二,令,则,56,故对称性57,二重积分在直角坐标系下的计算,二重积分在极坐标系下的计算公式,注意使用对称性,四、小结,注意正确选择积分次序, 掌握交换积分次序的方法,恰当选择坐标系计算二重积分,注意选择的原则,58,思考题1,1995年考研数学一5分,解,令,不能直接积出改变积分次序.法一,59,故,60法二,设,则,则,61思考题2,设有一曲顶柱体以双曲抛物面,坐标面为底试求这个柱体的体积.,解,由题设可知曲顶柱体在xOy平面上的投影即积分域D如图由D的形状可知用极坐标计算,曲顶柱体的体积简便.62,以双曲抛物面故,63思考题3,解答,交换积分次序,64,作业,习题9-2,95页,1.2 4 2.2 4 4.1 3 5.,6.2 4 6 7. 9. 10.,12.2 4 13.1 3 14.2 4,15.2 3 17. 18.,20.1 21.,22.1,