大学课件 高等数学 对坐标的曲面积分.ppt

1,小结 思考题 作业,预备知识,概念的引入,概念与性质,对坐标的曲面积分的计算法,两类曲面积分之间的联系,surface integral,第五节 对坐标的曲面积分,第十章 曲线积分与曲面积分,2,观察以下曲面的侧,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,1.有向曲面,通常光滑曲面都有两侧.如流体从曲面的这一侧流向另一侧的流量问题等.,假设曲面是光滑的,一、预备知识,3,有两侧的曲面.,规定,1双侧曲面,2. 曲面的分类,法向量的方向来区分曲面的两侧.,通过取定正负来对应侧42 单侧曲面,莫比乌斯Mobius带.B、C 粘在一起形成的环,不通过边界可以,这在双侧曲面上是不能实现的.,决定了侧的曲面称为,它是由一张长方形纸条ABCD扭转一下将A、D粘在一起，,行带.,小毛虫在莫比乌斯带上爬到任何一点去.,有向曲面.,Mobius17901868 19世纪德国数学家,5,3. 有向曲面在坐标面上的投影,设是有向曲面.,恰好等于 与坐标面xOy的二面角.,假定,的余弦,上各点处的法向量与 z轴的夹角,有相同的符号.,在有向曲面,取一小块,有向曲面与有向平面之间的二面角,6,类似地,可定义 在yOz面及zOx面的投影希自己写出,在xOy面上的投影,在xOy面上的投影区域的面积附以一定的,实际上就是,正负号.,的二面角.,7流向曲面一侧的流量.,流量,实例, 为平面A的单位法向量,斜柱体体积,1,流速场为常向量,有向平面区域 A求单位时间流过A的流体的质量,假定密度为1.,二、概念的引入,8,2 设稳定流动的不可压缩流体,给出函数,假定密度为1,的速度场由,当,不是常量曲面,求在单位,时间内流向,指定侧的,流体的质量,是速度场中的一片有向曲面9,分割,则该点流速为 ，,法向量为10,求和,取近似,该点处曲面的单位法向量高底,通过流向指定侧的流量,11,取极限的来源,12,1. 定义,三、概念与性质,定义,13或称,被积函数,积分曲面,存在则称此极限为,第二类曲面积分.,记作,即,如曲面为封闭曲面14,类似可定义,2. 存在条件,对坐标的曲面积分存在.,在有向光滑,连续15,3.组合形式,4.物理意义,如上述流向指定侧的流量为,也可写成,有向曲面元向量的形式,16,5.性质,1,2,3,当曲面,4,母线平行于z轴的柱面时表示相反的一侧,17,上侧四、对坐标的曲面积分的计算法,设积分曲面是由,的曲面,在xOy面,上的投影区域为,函数,具有一阶连续偏导数被积函数Rx, y, z在上连续.18,即,19,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的,侧.,20,计算对坐标的曲面积分时,1 认定对哪两个坐标的积分,将曲面表为 这两个变量的函数,并确定的投影域.,2 将 的方程代入被积函数,化为投影域上 的二重积分.,3 根据的侧法向量的方向确定二重积分 前的正负号.,21,解,投影域,例,计算,其中是球面,外侧在,的部分.2223,例,其中是,所围成的正方体的表面的,先计算,由于平面,都是母线平行于x轴的柱面则在其上对坐标y,z的积分为0.,解,三个坐标面与平面,外侧.,24,xa面在yOz面上的投影为正,而,x0面在yOz面上的投影为负.,投影域均为,0ya, 0za, 故,由 x,y,z 的对等性知所求曲面积分为 3a4.,后两个积分值也等于a4.,25,设有向曲面是由方程,函数,具有一阶连续偏导数给出五、两类曲面积分之间的联系,在xOy是由方程面上投影区域为,对坐标的曲面积分为,被积函数 Rx, y, z 在上连续.,26,曲面的法向量的方向余弦为,依侧取上（下）面符号,对面积的曲面积分为,所以,注意取曲面的两侧均成立27,两类曲面积分之间的联系,类似可得,不论哪一侧都成立.,其中,是有向曲面在点,处的法向量的方向余弦.,28,向量形式,有向曲面元29,解例,下侧.,30,由对称性,31,例,其中,解,法一,直接用对坐标的曲面积分计算法.,且其投影区域分别为,由于取上侧在第一卦限部分的,上侧.,面的投影,都是,正的32,取上侧,33,法二,利用两类曲面积分的联系计算.,取上侧锐角.,3435,若分片光滑的闭曲面,0,其中,注,x的偶函数,x的奇函数,曲面不封闭也可以.,取外侧内侧仍成立那末,关于yOz平面对称36,例,其中,解,关于yOz面对称被积函数,关于x为偶函数.,下侧.,关于zOx面对称被积函数,关于y为偶函数.,37原式38解,1994年研究生考题,计算,6分,求,练习,而,39,求40或,41,关于曲面侧的性质,六、小结,对坐标的曲面积分的计算,对坐标的曲面积分的概念,四步分割、取近似、求和、取极限,思想 化为二重积分计算;,对坐标的曲面积分的物理意义,注意,“一投二代三定号”,对坐标的曲面积分的性质,两类曲线积分之间的联系,方法,42,思考题,是非题,是以原点为中心的球面.,由对称性知,43,思考题解答,非,因为上半球面,下半球面,故,44,作 业,习题10-5 167页,2. 3.1 2 4 4.,