大学课件 高等数学 8-1.ppt

1,多元函数的极值和最值,条件极值 拉格朗日乘数法,小结 思考题 作业,第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法,第八章 多元函数微分法及其应用,2,一、多元函数的极值和最值,1.极大值和极小值的定义,一元函数的极值的定义,是在一点附近,将函数值比大小.,定义,点P0为函数的极大值点.,类似可定义极小值点和极小值.,,设在点P0的某个邻域为极大值.,则称,3,函数的极大值与极小值统称为函数的,函数的极大值点与极小值点统称为函数的,多元函数的极值也是局部的一般来说极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.,有时极值.,极值点.,内的值比较.,是与P0的邻域,极小值可能比极大值还大.,4,例,例,例,函数 存在极值在0,0点取极小值.,在0,0点取极大值.,也是最大值.,在0,0点无极值.,,椭圆抛物面,下半个圆锥面,马鞍面,在简单的情形下是,容易判断的.,函数,函数,也是最小值.,函数,5,2.极值的必要条件,证,定理1,必要条件,则它在该,点的偏导数必然为零,有极大值不妨设,都有,说明一元函数,有极大值必有,类似地可证,6,推广,如果三元函数,具有偏导数则它在,有极值的必要条件,为,均称为函数的,驻点,极值点仿照一元函数凡能使一阶偏导数同时为零的,点驻点.,如何判定一个驻点是否为极值点,如驻点但不是极值点.,,7,3.极值的充分条件,定理2,充分条件,的某邻域内连续有一阶及二阶连续偏导数处是否取得极值的条件如下,1,有极值有极大值有极小值;,2,没有极值;,3,可能有极值也可能无极值.,8求函数 极值的一般步骤,第一步,解方程组,求出实数解得驻点.,第二步,对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值,第三步,定出,的符号再判定是否是极值.,9,例,解,又,在点0,0处在点a,a处故,故,即,的极值.,在0,0无极值;,在a,a有极大值10,解,练习,求由方程,将方程两边分别对x, y求偏导数由函数取极值的必要条件知驻点为,将上方程组再分别对x, y求偏导数法一,11故,函数在P有极值.,代入原方程为极小值;,为极大值.,所以,所以,12,求由方程解,练习,法二,配方法,方程可变形为,于是,显然根号中的极大值为4,由可知为极值.,即,为极大值为极小值.,13,取得.,然而,如函数在个别点处的偏导数不存在这些点当然不是驻点如,函数,不存在但函数在点0,0处都具有极大值.,在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.,由极值的必要条件知极值只可能在驻点处,但也可能是极值点.,在点0,0处的偏导数,142003年考研数学一, 4分,选择题,已知函数f x, y在点0, 0的某个邻域内连续则,A 点0, 0不是f x, y的极值点.,B 点0, 0是f x, y的极大值点.,C 点0, 0是f x, y的极小值点.,D 根据所给条件无法判断点0, 0是否为f x, y的极值点.,15其中最大者即为最大值与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,4.多元函数的最值,求最值的一般方法,最小者即为最小值.,将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及,在D的边界上的最大值和最小值相互比较16,解,1 求函数在D内的驻点,由于,所以函数在D内无极值.,2 求函数在 D边界上的最值,现最值只能在边界上,围成的三角形闭域D上的,最大小值.,例D17,在边界线,在边界线,由于,最小由于,又在端点1,0处所以最大.,有驻点,函数值,有,单调上升.,18,在边界线,所以, 最值在端点处.,由于,函数单调下降3,比较19解,练习,此时,的最大值与最小值.,驻点,得,20对自变量有附加条件的极值.,其他条件.,无条件极值,对自变量除了限制在定义域内外并无,条件极值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,21,解,例,已知长方体长宽高的和为18问长、宽、高,各取什么值时长方体的体积最大,设长方体的长、宽、高分别为,由题意,长方体的体积为,且长方体体积,一定有最大值体体积最大.,故当的长、宽、高都为6时长方,由于V在D内只有一个驻点22上例的极值问题也可以看成是求三元函数,的极值要受到条件,的限制这便是一个条件极值,问题.,目标函数,约束条件,有时条件极值,目标函数中化为无条件极值.,可通过将约束条件代入,但在一般情形,甚至是不可能的.,下面要介绍解决条件极值问题的一般,方法,下,这样做是有困难的拉格朗日乘数法,23,拉格朗日乘数法,现要寻求目标函数,在约束条件,下取得,如函数1在,由条件,1,2,极值的必要条件.,取得所求的极值那末首先有,3,确定y是x的隐函数,不必将它真的解出来,则,于是函数1,即取得所,取得极值.,求的极值.,24其中,代入4得,由一元可导函数取得极值的必要条件知,4,取得极值.,在,3 ,5两式,取得极值的必要条件.,就是函数1在条件2下的25设,上述必要条件变为,6中的前两式的左边正是函数,6,的两个一阶偏导数在,的值.,函数,称为拉格朗日函数称为拉格朗日乘子是一个待定常数.,26,拉格朗日乘数法,极值的必要条件,在条件,要找函数,下的可能极值点先构造函数,为某一常数其中,可由,解出,其中,就是可能的极值点的坐标.,27如何确定所求得的点,实际问题中非实际问题我们这里不做进一步的讨论.,拉格朗日乘数法可推广,判定.,可根据问题本身的性质来,的情况.,自变量多于两个,是否为极值点,,28,解,则,又是实际问题解得唯一驻点,一定存在最值.,令,29,解,为椭球面上的一点令,则,的切平面方程为,在第一卦限内作椭球面,的,使切平面与三个坐标面所围成的,例,切平面四面体体积最小求切点坐标.,30目标函数,该切平面在三个轴上的截距各为,化简为,所求四面体的体积约束条件,在条件,下求V 的最小值31,约束条件,令,由,目标函数32,可得,即,当切点坐标为,四面体的体积最小,33练习,解,为简化计算,令,是曲面上的点它与已知点的距离为,问题化为在,下求,的最小值.,目标函数,约束条件,34,设,1,2,3,4,35,由于问题确实存在最小值，,故,得唯一驻点,还有别的简单方法吗,,用几何法,36,练习,解,为此作拉格朗日乘函数,上的最大值与最小值.,在圆内的可能的极值点;,在圆上的最大、最小值.,37,最大值为,最小值为,38,2002年考研数学一, 7分,设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为,1 设Mx0 , y0为区域D上一点,问hx, y在该点沿平面上什么方向的方向导数最大,若记此方向导数,的最大值为gx0 , y0试写出gx0 , y0的表达式.,2 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.,是说,要在D的边界线,上找出使1中,的gx, y达到最大值的点.,试确定攀岩起点的位置.,也就,练习,39解,1 由梯度的几何意义知方向的方向导数最大hx, y在点Mx0 , y0,处沿梯度,方向导数的最大值为该,梯度的模所以,2 令,由题意,只需求,在约束条件,下的最大值点.,令,40则,1,2,3,1 2,从而得,由1得,再由3得,由3得,于是得到4个可能的极大值点,可作为攀登的起点.,41,多元函数极值的概念,条件极值 拉格朗日乘数法,多元函数取得极值的必要条件、充分条件,多元函数最值的概念,三、小结,上述问题均可与一元函数类比,42,思考题,答,不一定.,二元函数,在点,处有极值,不妨设为极小值是指存在,当点,且,沿任何曲线趋向于,一元函数,在点 x0,处取得有极小值表示动点,且,沿直线,43,并沿该直线即沿平行于Ox轴的正负,方向趋向于,它们的关系是,在点,取得极大小值取得极大小值.,44,作业,习题8-8,61页,1. 4. 5. 7. 9. 10.,补充,约束下的最大值.,