大学课件 高等数学 多元函数微分法及其应用.ppt

1第八章 多元函数微分法 及其应用,2第一节 多元函数的基本概念,预备知识,多元函数的概念,多元函数的极限,多元函数的连续性,小结 思考题 作业,function of many variables,第八章 多元函数微分法及其应用,3,一、预备知识,1. 平面点集 n 维空间,一元函数平面点集n 维空间实数组x, y的全体即,建立了坐标系的平面称为坐标面.坐标面,坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为,平面点集记作,1 平面点集,二元有序,多元函数的基本概念,4,邻域 Neighborhood,设P0x0, y0是 xOy 平面上的一个点几何表示. P0多元函数的基本概念,令,有时简记为称之为, 将邻域去掉中心 也可将以P0为中心的某个矩形内不算周界,称之为,的全体点称之为点P0邻域.,去心邻域.5,1 内点,显然, E的内点属于E.,多元函数的基本概念2 外点,如果存在点P的某个邻域,则称P为E的,外点.,3 边界点,如点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点称P为E的边界点.,任意一点,与任意一点集,之间,必有以下三种关系中的一种,设E为一平面点集若存在,称P为E的,内点.E的边界点的全体称为E的,边界记作,使UP E 6,聚点,多元函数的基本概念,如果对于任意给定的,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的,聚点.,例如, 设点集,P本身可属于E,也可不,属于E 则P为E的内点;,则P为E的边界点也是E的聚点.,E的边界,为集合,7平面区域重要,设D是开集.,连通的开集称多元函数的基本概念,连通的.,如对D内任何两点都可用折线连,且该折线上的点都属于D称开集D是,开区域.,如,都是区域.,开集,若E的任意一点都是内点例,称E为开集.,E1为开集.结起来,8开区域连同其边界,称为,开区域、闭区域与半开半闭区域统称为区域。 但注意当教材规定了区域为开区域时， 一般的区域要称一般区域。,否则称为,多元函数的基本概念,都是闭区域 .,如,总可以被包围在一个以原点为中心、,适当大的圆内的区域称此区域为,半径,可伸展到无限远处的区域 .,闭区域.,有界区域.,无界区域,有界区域,9,有界开区域,有界半开半闭区域,有界闭区域,无界闭区域,多元函数的基本概念,10,n 元有序数组,的全体,n 维空间中的每一个元素,称为空间中,称为该点的第k个坐标.,n维空间中两点,的距离定义为,n 维空间中点,记作,及,的邻域为,2 n 维空间,多元函数的基本概念,n 维空间.,称为,即,的一个点11,二、多元函数的概念,1. 二元函数的定义,例 理想气体的状态方程是,称 p为两个变量T,V 的函数其中,1 定义,如温度T、体积V都在变化, 则压强 p依赖,多元函数的基本概念,R为常数,其中p为压强V为体积T为绝对温度.,于T,V 的关系是,12,按着这个关系有确定的,点集D称为该函数,称为该函数的,则称z是x, y的,定义1,若变量z与D,中的变量x, y之间有一个依赖关系设D是xOy平面上的点集使得在D内,每取定一个点Px, y时z值与之对应多元函数的基本概念,记为,称x, y为,的,数集,二元点函数.,称z为,自变量因变量定义域值域.,13,二元及二元以上的函数统称为,2 多元函数定义域,定义域为符合实际意义的,自变量取值的全体.,记为,函数 在点 处的函数值,多元函数的基本概念,或,类似可定义n元函数.,多元函数.,实际问题中的函数,自变量取值的全体.,纯数学问题的函数,定义域为使运算有意义的,14,例 求下面函数的定义域,解,无界闭区域,多元函数的基本概念,即定义域为,15,解定义域是,有界半开半闭区域,多元函数的基本概念,16用联立不等式表示下列平面闭区域 D .,圆弧,直线,,解,多元函数的基本概念,及172. 二元函数的几何意义,研究单值函数,二元函数的图形通常是一张,多元函数的基本概念,曲面.18的图形是双曲抛物面.,多元函数的基本概念,如由空间解析几何知函数,的图形是以原点为中心R为半径的上半球面.,又如最后指出从一元函数到二元函数在内容,和方法上都会出现一些实质性的差别而多元,函数之间差异不大.,因此研究多元函数时将以,二元函数为主.,19,三、多元函数的极限,讨论二元函数,怎样描述呢,1 Px, y趋向于P0x0, y0的,回忆 一元函数的极限,路径又是多种多样的.,多元函数的基本概念,方向有任意多个,20,2 变点Px,y,这样,可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.,多元函数的基本概念,总可以用,来表示极限过程,与定点P0x0,y0之间的距离记为,不论,的过程多复杂21,记作,多元函数的基本概念,定义2,在D内有,成立.,的极限.,设二元函数,P0x0, y0是D的聚点.,的定义,义域为D如果存在常数 A也记作,22,说明,1 定义中,2 二元函数的极限也叫多元函数的基本概念,double limit,的方式是任意的；,二重极限.,23,则当,例,证,取,有,证毕.,多元函数的基本概念,24,相同点,多元函数的极限与一元函数的极限的,一元函数在某点的极限存在的充要,,定义相同.,差异为,必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋,而多元函数,于P0时多元函数的基本概念,相同点和差异是什么,条件是左右极限都存在且相等;,都有极限且相等.,25,确定极限,关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.,多元函数的基本概念,不存在,的方法,则可断言极限不存在;,若极限值与 k 有关1,2,此时也可断言,找两种不同趋近方式但两者不相等处极限不存在.,存在沿直线,26,设函数,证明,当Px, y沿x轴的方向,当Px, y沿y轴的方向,也有,证,多元函数的基本概念,函数的极限不存在.,无限接近点0,0时同样无限接近点0,0时例,27,函数的极限存在且相等.,当Px, y 沿直线 y kx 的方向,其值随k的不同而变化.,所以,极限不存在,多元函数的基本概念,说明函数取上面两个,无限接近,于点0,0时另一方面无限接近点0,0时设函数,证明,函数的极限不存在.特殊方向,28,练习,取,解,当Px,y沿x轴的方向无限接近点0,0时当Px,y沿y轴的方向无限接近点0,0时多元函数的基本概念,29,多元函数的基本概念,极限不存在.,取30,四、多元函数的连续性,设二元函数,则称函数,定义3,多元函数的基本概念,P0x0, y0为D的定义区域的内点或边界点, P0D.,如果,连续.,如果函数 f x, y 在开区域闭区域D内的,每一点连续则称函数,在D内连续或称函数,是 D内的连续函数.,的定义域为D31,的不连续点多元函数的基本概念,若函数 在点 P0x0, y0不连续称P0为函数,间断点.,若在D内某些孤立点没有定义或沿D内某些曲线但在D内其余部分都有定义则在这些孤立点或这些曲线,上即间断点.,函数,都是函数,则,32,在单位圆,处处是间断点.,多元函数的基本概念,函数,0,0点是该函数的间断点.,函数,不同在哪,想一想,二元函数的间断性与一元函数的间断性,33称为多元初等函数多元函数的基本概念,积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.,同一元函数一样多元函数的和、差、,每个自变量的基本初等函数经有限次四则,运算和有限次复合由一个式子表达的函数,处均连续.,在它们的定义域的内点,34,有界闭区域上连续的多元函数的性质,至少取得它的最大值和最小值各一次,介于这两值之间的任何值至少一次,1 最大值和最小值定理,2 介值定理,多元函数的基本概念,在有界闭区域D上的多元连续函数在D上,在有界闭区域D上的多元连续函数如果,在D上取得两个不同的函数值则它在D上取得,35,多元函数的极限的基本问题有三类,1 研究二元函数极限的存在性.,常研究,若其依赖于k则,欲证明极限存在*,特别对于,*,不存在.,多元函数的基本概念,常用定义或夹逼定理.,欲证明极限不存在,通过观察、猜测常选择两条不同路径求出不同的极限值.,2 求极限值.,常按一元函数极限的求法求之.,3 研究二重极限与累次极限二次极限间的关系.,罗必达法则除外,36例 求极限,解,其中,多元函数的基本概念,思考如何改进,37,多元函数的基本概念,例 求极限,解,将分母有理化,得,38提示,解,多元函数的基本概念,是否把极限,理解为,先求,,的极限再求,的极限;,或者,先求,的极限再求,的极限,思考,研究,有,有,39,2 同理,3再来分析当点x, y沿过原点的直线,因此,不存在.,多元函数的基本概念,对任意的,有,趋向于,有,时40,可证明当 f x, y在P0x0, y0的一个邻域上,第二一般也是不相同的;,第三由此看出,第一不能理解为,多元函数的基本概念,连续时上述三个极限均相等.,或,41,求,答 0,答不存在.,答不存在.,二次极限都不存在时,但二重极限也可能,多元函数的基本概念,练习,存在.,二次极限与二重极限有本质的区别.,42,想一想,如何证明 f x, y在,,证,多元函数的基本概念,xOy面上处处连续,是初等函数，,处处连续.,43,又,于是,即证明了fx, y在,多元函数的基本概念,由于,xOy面上处处连续.,证明 f x, y在,xOy面上处处连续44,五、小结,多元函数的极限,多元函数连续性,有界闭区域上连续多元函数的性质,与一元函数的极限加以比较注意相同点与差异,多元函数的概念,多元函数的基本概念,预备知识,内点, 边界点, 聚点, 开集, 连通, 区域,45,多元函数的基本概念,思考题1,46,多元函数的基本概念,思考题2 是非题必定不存在.,是,因为对不同的k值不同不存在.,47,作业,习题8-111页,1. 3. 4. 5.1 4 5 6,6.1 2 4 7. 8. 9.,多元函数的基本概念,